Rule of 72

定義

• 核心用途：用來快速估算資產翻倍所需時間的簡易速算法。

計算原理

• 計算邏輯：將 72 當作分子，年化報酬率 (%) 當作分母，結果即為翻倍需要的年數。
• 速算公式：
  • $$\mathrm{年}\mathrm{數}\approx \frac{72}{\mathrm{年}\mathrm{化}\mathrm{報}\mathrm{酬}\mathrm{率}}$$
• 數學推導：假設報酬率為 10%，求 n 年後翻倍，即：
  • $$(1+10\mathrm{\%}{)}^n=2$$
• 對數運算：
  • $$n=\frac{\log 2}{\log 1.1}={\log }_{1.1}2\approx 7.272$$

範例

• 報酬率 10%：
  • $$72÷10=7.2\text{ 年}$$
• 報酬率 15%：
  • $$72÷15=4.8\text{ 年}$$

數學證明

基礎假設

• 複利公式：
  • $$FV=PV\times (1+r{)}^n$$
• 變數定義：$PV$ 為現值，$FV$ 為未來值，$r$ 為年化報酬率 (小數形式)，$n$ 為年數。
• 翻倍條件：設定未來值為現值的兩倍，即 $FV=2PV$。

推導過程

• 簡化等式：將條件代入公式，消去 $PV$。
  • $$(1+r{)}^n=2$$
• 取自然對數：左右兩邊同時取 $\ln$ 以解出指數 $n$。
  • $$\ln ((1+r{)}^n)=\ln (2)$$
  • $$n\times \ln (1+r)=\ln (2)$$
• 移項求解：
  • $$n=\frac{\ln (2)}{\ln (1+r)}$$

近似與修正

• 泰勒級數：當 $r$ 數值很小 (接近 0) 時，根據泰勒展開式：
  • $$\ln (1+r)\approx r$$
• 常數代入：已知 $\ln (2)\approx 0.6931$。
• 初步結論：
  • $$n\approx \frac{0.693}{r}$$
• 百分比轉換：若將 $r$ 換成百分比形式 $R$ (如：r=0.05 寫作 R=5)，公式變為：
  • $$n\approx \frac{69.3}{R}$$

選用 72 之原因

• 數值調整：雖然 69.3 最準確，但不易心算。
• 因數考量：72 與 69.3 相近，且 72 擁有大量因數 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12...)，極易被整除。
• 誤差補償：在較高的報酬率區間，72 的誤差反而比 69.3 小，適度修正了泰勒級數的低估偏差。