72 法則
Rule of 72
定義
- 核心用途:用來快速估算資產翻倍所需時間的簡易速算法。
計算原理
- 計算邏輯:將 72 當作分子,年化報酬率 (%) 當作分母,結果即為翻倍需要的年數。
- 速算公式:
-
- 數學推導:假設報酬率為 10%,求 n 年後翻倍,即:
-
- 對數運算:
-
範例
- 報酬率 10%:
-
- 報酬率 15%:
-
數學證明
基礎假設
- 複利公式:
-
- 變數定義:
為現值, 為未來值, 為年化報酬率 (小數形式), 為年數。 - 翻倍條件:設定未來值為現值的兩倍,即
。
推導過程
- 簡化等式:將條件代入公式,消去
。 -
- 取自然對數:左右兩邊同時取
以解出指數 。 -
- 移項求解:
-
近似與修正
- 泰勒級數:當
數值很小 (接近 0) 時,根據泰勒展開式: -
- 常數代入:已知
。 - 初步結論:
-
- 百分比轉換:若將
換成百分比形式 (如:r=0.05 寫作 R=5),公式變為: -
選用 72 之原因
- 數值調整:雖然 69.3 最準確,但不易心算。
- 因數考量:72 與 69.3 相近,且 72 擁有大量因數 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12...),極易被整除。
- 誤差補償:在較高的報酬率區間,72 的誤差反而比 69.3 小,適度修正了泰勒級數的低估偏差。